Pola wielokątów foremnych

Rozważmy pewien n-kąt foremny.

Oznaczmy jego środek przez punkt S - Punkt znajdujący się na przecięciu symetralnych boków.

Odległości wierzchołków n-kąta foremnego są więc równe z twierdzenia o symetralnych. Oznaczmy ich wartość przez \(r\).

Skoro nasza figura jest foremna, to wszystkie jej boki mają równą długość, dlatego z cechy przystawania bok-bok-bok (bbb) wszystkie trójkąty, których dwa wierzchołki są wierzchołkami n-kąta, a trzecim jest punkt S, są przystające.

Z tego wynika, że kąty w tych trójkątach są równe (oznaczmy je przez α), jak pokazano na obrazku:

Łącznie te kąty mają 360°, czyli \(α=\frac{360}{n}\)

Pole trójkąta wynosi: \(P_1=\frac{1}{2}r^2\sin α = \frac{1}{2}r^2\sin {\frac{360}{n}}\).

Pole całej figury wynosi więc: \(P=nP_1=\frac{1}{2}nr^2\sin {\frac{360}{n}}\).

Pole koła

Koło to tak naprawdę wielokąt o nieskończonej liczbie boków, więc: \(P_{koła}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}nr^2\sin {\frac{360}{n}} = r^2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}n \sin {\frac{360}{n}}\).

Funkcja w granicy jest zależna wyłącznie od \(n\), więc \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}n \sin {\frac{360}{n}} \) to stała. Oznaczmy ją jako \( \pi_1 \).

\(P_{koła}= \pi_1 r^2\)

Obwód wielokąta foremnego

Obliczmy teraz bok naprzeciw \(α\), \(a\).

Z twierdzenia cosinusów wynika, że: \( a^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos α = 2r^2 - 2r^2\cos α = r^2 (2-2\cos α) \).

\( a = r \sqrt {2(1 - \cos α)} = r = r \sqrt{2(1 - \cos \frac {360}{n})} \)

\( Obwód = na = n r \sqrt{2(1 - \cos \frac {360}{n})} = 2r \cdot n \sqrt{ \frac{ 1 - \cos \frac {360}{n} }{2} } \)

Obwód koła

Podobnie jak z polem, koło to wielokąt foremny o nieskończonej liczbie boków, więc

\( Obwód_{koła} = \lim_{n \to \infty}{2r \cdot n \sqrt{ \frac{ 1 - \cos \frac {360}{n} }{2} }} = 2r \lim_{n \to \infty}{n \sqrt{ \frac{ 1 - \cos \frac {360}{n} }{2} }} \)

Widać, że funkcja w granicy jest zależna wyłącznie od \(n\), więc \( \lim_{n \to \infty}{n \sqrt{ \frac{ 1 - \cos \frac {360}{n} }{2} }} \) to stała. Nazwijmy ją \( \pi_2 \).

\( Obwód_{koła} = 2 \pi_2 r \)

Dlaczego \( \pi_1 = \pi_2 \) dowód 1

Pierwszy dowód opiera się na cięciu koła na wiele kawałków i łączenie ich w coś, co ma kształt coraz bardziej zbliżony do prostokąta, bo najmniejszy możliwy kąt między promieniami dąży do 0.

Wtedy krótszy bok prostokąta będzie miał długość \(r\), a dłuższy - \( \frac{Obwód}{2} \) czyli \( P = r \cdot \frac{2 \pi_1 r}{2} = \pi_1 r^2 = \pi_2 r^2 => \pi_1 = \pi_2 \)

Dlaczego \( \pi_1 = \pi_2 \) dowód 2

Gdy \( n \to \infty \) to \( h \to r \), gdzie \(h\) to wysokość trójkąta będącego częścią wielokąta foremnego o \(n\) bokach.

\( P = n \frac{ah}{2} \), bo jest to suma pól \( n\) trójkątów o podstawie \(a\) i wysokosci \(h\).

Ale, \(P \to \frac{nar}{2}\), a \(na\) to obwód, więc \(P \to \frac{obwód \cdot r} {2} = \frac{2 \pi_1 r^2}{2} = \pi_1 r^2 = \pi_2 r^ 2 => \pi_1 = \pi_2\)

Pierwotnie \(\pi\) oznaczono jako iloraz obwodu do średnicy koła, a dopiero potem udowodniono, że \( P = \pi r^2 \).

Objętość kuli

Obliczmy promień okręgu (\(r\)) znajdującego się na kuli o promieniu \(R\) w odległości \(y\) od jej środka:

Trójkąt ODC jest prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa:

$$ R^2 = r^2 + y^2 $$

$$ r^2 = R^2 - y^2 $$

$$ r = \sqrt{R^2 - y^2} $$

Teraz obliczmy pole tego koła:

$$ P = \pi r^2 = \pi (R^2 - y^2) $$

Następnie obliczmy objętość kuli:

Objętość bryły to całka po polach przecięć kolejnych płaszczyzn do siebie równoległych z tą bryłą.

Więc:

$$ V = \int_{-R}^{R}{\pi (R^2 - y^2)} \, dy = \pi \int_{-R}^{R}{R^2 - y^2} \, dy $$

Obliczmy teraz \( \int{R^2 - y^2}\, dy \):

$$ \int{R^2 - y^2}\, dy = \int{R^2}\, dy - \int{y^2} \, dy = R^2 y - \frac{y^3}{3} $$

Teraz możemy wyznaczyć wzór na objętość kuli:

$$ V = \pi \int_{-R}^{R}{R^2 - y^2} \, dy = \pi ((\int{R^2 - y^2}\, dy)(R) - (\int{R^2 - y^2}\, dy)(-R)) = \pi ( R^3 - \frac{R^3}{3} + R^3 - \frac{R^3}{3} ) = $$ $$ = \pi (2R^3 - \frac{2}{3} R^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 $$

Czyli \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\)

Pole powierzchni kuli:

Zauważmy, że kulę możemy przybliżyć ostrosłupami o wysokościach \(R\) i podstawach na powierzchni kuli.

Suma Pól podstaw tych ostrosłupów to pole powierzchni kuli.

$$ \sum_{i=0}^n{{P_p}_i} = P_p $$

$$ V = \sum_{i=0}^n{\frac{1}{3} {P_p}_i R} = \frac{1}{3} R \sum_{i=0}^n{{P_p}_i} = \frac{1}{3} R P_p $$

$$ P_p = \frac{3V}{R} = \frac{4 \pi R^3}{R} = 4 \pi R^2 $$

$$ P_p = 4 \pi R^2 $$

\( \pi \) i \( \sigma \)

Według pewnej bajki \( \pi \) i \( \sigma \) pochodzą z Matplanety.

Wzory na przybliżanie \( \pi \)

1. Równanie na koło w środku w punkcie \( (0, 0) \) to \( x^2 + y^2 = r^2 \) z twierdzenia Pitagorasa i faktu, że każdy punkt koła jest równo oddalony od jego środka.

   Funkcja półkola wynosi więc \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \).

   Obliczmy pole półkola o promieniu \(1\): \( P = \frac{\pi}{2} = \int_0^1 {\sqrt{1 - x^2}} \, dx \).

   Tę całkę można przybliżać za pomocą prostokątów:

   

   Dla \( n = 10^7 \) za pomocą komputera można wyliczyć \( \pi \) jako: 3.14159285...

2. Rozrzucając piłki po kwadracie o boku 1 stosunek liczby piłek w odległości > 0.5 od jego środka (\( m \)) do wszystkich punktów (\(n\)) będzie zbliżony do stosunku pól koła i kwadratu: \( \frac{m}{n} \approx \frac{\frac{1}{4} \pi}{1} = \frac{1}{4} \pi \)

   

   Dla \( n = 10^7 \) za pomocą komputera można wyliczyć \( \pi \) jako: 3.1419264.

3. Oznaczmy \( f(x)^{(a)} \) jako \(a\)-tą pochodną funkcji \(f(x)\).

   Wtedy:

   $$ (\sin x)^{(0)} = \sin x $$ $$ (\sin x)^{(1)} = \cos x $$ $$ (\sin x)^{(2)} = -\sin x $$ $$ (\sin x)^{(3)} = -\cos x $$ $$ (\sin x)^{(4)} = \sin x $$

   Ponieważ \( (f(x)^{(a)})^{(b)} = f(x)^{(a+b)} \) to następuje cykl i mamy:

   $$ (\sin x)^{(4k+0)} = \sin x $$ $$ (\sin x)^{(4k+1)} = \cos x $$ $$ (\sin x)^{(4k+2)} = -\sin x $$ $$ (\sin x)^{(4k+3)} = -\cos x $$

   Gdzie \( k \in \mathbb{Z} \)

   Więc:

   $$ (\sin x)^{(4k+0)}(0) = 0 $$ $$ (\sin x)^{(4k+1)}(0) = 1 $$ $$ (\sin x)^{(4k+2)}(0) = 0 $$ $$ (\sin x)^{(4k+3)}(0) = -1 $$

   Z szeregu Maclaurina wynika, że:

   $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(\sin x)^{(n)}(0)}{n!} x^n} $$ $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(\sin x)^{(4n)}(0)}{(4n)!} x^{4n} + \frac{(\sin x)^{(4n+1)}(0)}{(4n+1)!} x^{4n+1} + \frac{(\sin x)^{(4n+2)}(0)}{(4n+2)!} x^{4n+2} + \frac{(\sin x)^{(4n+3)}(0)}{(4n+3)!} x^{4n+3} } $$ $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{0}{(4n+0)!} x^{(4n+0)} + \frac{1}{(4n+1)!} x^{(4n+1)} + \frac{0}{(4n+2)!} x^{(4n+2)} + \frac{-1}{(4n+3)!} x^{(4n+3)} } $$ $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(4n+1)!} x^{(4n+1)} + \frac{-1}{(4n+3)!} x^{(4n+3)}} $$ $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{(4n+1)}}{(4n+1)!} - \frac{x^{(4n+3)}}{(4n+3)!}} $$

   Ten \(\sin x\) jest wyliczony dla \(x\) w radianach, więc jeśli \(x\) jest w stopniach to:

   $$ \sin x^\circ = \sin \frac{\pi x^\circ}{180^\circ} $$

   Czyli w szczególności:

   $$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi 30^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{\pi}{6} = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(\frac{\pi}{6})^{(4n+1)}}{(4n+1)!} - \frac{(\frac{\pi}{6})^{(4n+3)}}{(4n+3)!}} = $$ $$ = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(\frac{\pi}{6})^{(4n+1)}}{(4n+1)!} - \frac{(\frac{\pi}{6})^{(4n+1)} \cdot (\frac{\pi}{6})^2}{(4n+1)! \cdot (4n+2) \cdot (4n+3)}} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(\frac{\pi}{6})^{(4n+1)}}{(4n+1)!} (1 - \frac{(\frac{\pi}{6})^2}{(4n+2)(4n+3)}) } $$

   Przybliżając to otrzymujemy:

   $$ \frac{1}{2} = \sum_{n=0}^{1}{ \frac{(\frac{\pi}{6})^{(4n+1)}}{(4n+1)!} (1 - \frac{(\frac{\pi}{6})^2}{(4n+2)(4n+3)}) } = \frac{\pi}{6} (1 - \frac{(\frac{\pi}{6})^2}{6}) + \frac{(\frac{\pi}{6})^5}{5!} (1 - \frac{(\frac{\pi}{6})^2}{42}) = $$ $$ = \frac{\pi}{6} - \frac{(\frac{\pi}{6})^3}{6} + \frac{(\frac{\pi}{6})^5}{5!} - \frac{(\frac{\pi}{6})^7}{7!} $$

   Oznaczmy x przez niewiadomą, którą chcemy obliczyć, czyli \( \frac{\pi}{6} \):

   $$ x - \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 - \frac{1}{2} = 0 $$

   Za pomocą komputera można wyliczyć \( \pi \) używając tego sposobu jako: 3.1415927099228619923

   Dla \(n=9\) można komputerowo obliczyć 15 pierwszych cyfr po przecinku liczby \(\pi\): 3.1415926535897935601

4. Używamy tego samego wzoru na \( \sin x \):

   $$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{(4n+1)}}{(4n+1)!} - \frac{x^{(4n+3)}}{(4n+3)!}} $$

   , ale tym razem zamiast rozwiązywać równanie zrobimy "binsearch po wyniku" (możemy go zrobić, bo \( \sin x \) rośnie na fragmencie od \( \frac{3}{6} \) do \( \frac{4}{6} \)), czyli następującą taktykę:

   1. Ustawmy \( p = \frac{3}{6} \) i \( k = \frac{4}{6} \). Wiemy, że \( p \le \frac{\pi}{6} \le k \) i będziemy się starać, aby zawsze ten warunek był spełniony.
   2. Ustawiamy \( S = p + \frac{k-p}{2} = \frac{p+k}{2} \).
   3. Jeśli \( \sin S \le \frac{1}{2} \) to \( p \le \frac{\pi}{6} \), więc możemy ustawić, że \( p = S \), gdyż warunek będzie nadal spełniony a zwiększymy dokładność.
   4. W przeciwnym wypadku - jeśli \( \sin S > \frac{1}{2} \) to \( p > \frac{\pi}{6} \), więc możemy ustawić \( k = S \), gdyż warunek będzie nadal spełniony a zwiększymy dokładność.
   5. Idziemy do punktu 2.

   Funkcje \( \sin x \) przybliżamy za pomocą wzoru.

   Za pomocą komputera dla \(n = 40\) można obliczyć liczbę pi z dokładnością do 341 cyfr po przecinku: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409722441136204260882188228218131939924865904211268822583498889418744704644042726281692097203485545675874983769186327700417852580

Inne wzory

1. Wzór Ramanujana:

   $$ \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}} $$ Jesteśmy w stanie z pomocą komputera uzyskać przybliżenie \( \pi \) z 10 000 miejscami po przecinku w dość sensownym czasie.

2. Wzór, który wymyśleli David i Gregory Chudnovsky:

   $$ \frac{1}{\pi} = 12\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k(6k)!(13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k+\frac{3}{2}}}} $$

   Można za pomocą komputera i tego wzoru w sensownym czasie znaleźć 2000 miejsc po przecinku \( \pi \).

3. Wzór Bailey-Borwein-Plouffe:

   $$ \pi = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{16^k} (\frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6})} $$ Dzięki temu algorytmowi jesteśmy w stanie w sensownym czasie obliczyć \( \pi \) z dokładnością do 30 000 cyfr po przecinku. W ciągu dłuższego czasu (ok. 15 min) komputer może obliczyć 50 000 cyfr po przecinku \( \pi \).

Tożsamość Eulera

Postać wykładnicza liczby zespolonej to:

$$ z = \lvert z \rvert (\cos \varphi + i \sin \varphi) = \lvert z \rvert e^{i \varphi} $$

Wzór $$ e^{i \varphi} = (\cos \varphi + i \sin \varphi) $$

to wzór Eulera.

Co dzieje się dla \( \varphi = \pi \)?:

$$ e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1 $$

$$ e^{i \pi} = -1 $$

$$ e^{i \pi} + 1 = 0 $$

Ten wzór to tożsamość Eulera.

Jest on nazywany najpiękniejszym wzorem, ponieważ zawiera wiele ważnych symbolów, wartości i operacji matematycznych:

• \(e\) (stała Eulera)
• \(\pi\)
• \(i\)
• \(1\) (liczba neutralna w mnożeniu)
• \(0\) (liczba neutralna w dodawaniu i odejmowaniu)
• dodawanie
• potęgowanie
• mnożenie